[转载]动态规划解最长公共子序列问题

W_YXN 1月前 23

   

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动态规划法    

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题,并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。    

为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,这就是动态规划法所采用的基本方法。    

   

   

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列    

问题描述:字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1,序列Y=“y0,y1,…,yk-1X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…,ik-1>,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。    

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1B=“b0,b1,…,bm-1,并Z=“z0,z1,…,zk-1为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:    

(1如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2是“a0,a1,…,am-2和“b0,b1,…,bn-2的一个最长公共子序列;    

(2如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1是“a0,a1,…,am-2和“b0,b1,…,bn-1的一个最长公共子序列;    

(3如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1是“a0,a1,…,am-1和“b0,b1,…,bn-2的一个最长公共子序列。    

这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2和“b0,b1,…,bm-2的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2和“b0,b1,…,bn-1的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1和“b0,b1,…,bn-2的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。    

 

 

求解:    

引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。
   

问题的递归式写成:    


   

recursive formula    

回溯输出最长公共子序列过程:

flow    

 

算法分析:
由于每次调用至少向上或向左(或向上向左同时)移动一步,故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况,此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反,步数相同,故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

 

 

代码:


   


#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *xchar *yint mint nint c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;

    for (i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for (j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (x[i - 1] == y[j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j - 1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *xint iint j)
{
    if (i == 0 || j == 0)
        return;
    if (b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i - 1, j - 1);
        printf("%c "x[i - 1]);
    }
    else if (b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i - 1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j - 1);
}

int main(int argcchar **argv)
{
    char x[MAXLEN] = {"ABCBDAB"};
    char y[MAXLEN] = {"BDCABA"};
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;

    m = strlen(x);
    n = strlen(y);

    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);

    return 0;

}


 

 完。

最后于 1月前 被W_YXN编辑 ,原因: 修改格式。
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